Image Processing

图像的中频 高频 低频

图像的频率指的是，图像灰度值变化剧烈程度的指标，是灰度值在平面空间上的梯度。

低频信息

就是指灰度值变化频率慢的信息，那就是连续而相近的亮度，这就是一张图片里的大色块，所以也常常说图像的主要成分是低频信息，因为低频信息占据了图像的大部分，所以也形成了图像的基本灰度等级。

中频信息

则是灰度值变化较快，所以在图像中，就是物体的边缘处，边缘处就是灰度变化较快的区域，所以中频信息决定了图像的基本结构，形成了图像的主要边缘结构。

高频信息

则是频率变化快，灰度值变化很快，对应的就是图像里的边缘，细节，以及一些噪点。所以高频信息构成了图像的边缘和细节，是对中频信息上对图像内容的进一步强化。

应用：傅里叶变换

就是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，在傅里叶变换之后得到的高频和低频信息，低频信号，一般代表着图像中亮度或者灰度值变化缓慢的区域，也就是图像中大片平摊的区域，描述了图像的主要部分，是对整个图像的综合度量。而高频分量，对应这图像变化剧烈的部分，也就是图像的边缘（轮廓）或者噪声（所以说图像噪声大部分时候都是在高频）以及细节部分。主要是对图像边缘和轮廓的度量，而人眼对高频分量比较敏感。

傅里叶变换

通常是为了便于在图像变换之后的数据上进行处理，处理之后再变换回来，因为在空间域上，我们对图像进行操作，使用均值滤波，那么噪声未知的像素点会被周围像素点求均值取代，可能效果会比原图号，但是这对原有图像有些信息造成损失，而如果将图像在频域上进行操作，噪声在频率上反映的是高频信息，通过设置相应的滤波器，滤除噪声，然后从频域还原回来，图像的信息不会有损失。

DFT: 二维离散傅里叶变换，令$f(x,y)$表示一张大小为 $M\times N$像素的图片

$$F(u,v) = \sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y = 0}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$

正反变换与变换核

图像变换的性质取决于变换核，对于上述大小为M \times N 的图像 f(x,y) 来说，表示为 T(u,v) 的二维线性变换通式子可以写作：

$$T(u,v) =\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y = 0}f(x,y)r(x,y,u,v)$$

其中$r(x,y,u,v)$称作正变换核，其中 $u, v$称为变换向量，而 $T(u,v)$称为图像的正变换。如果已知正变换，可以利用对应的反变换还原输入图像：

$$f(u,v) =\sum^{M-1}_{x=0}\sum^{N-1}_{y = 0}T(x,y)s(x,y,u,v)$$

其中$s(x,y,u,v)$称作正变换核，上面两个式子合称为变换对。

变换对的性质

• 如果变换核满足$r(x,y,u,v) = r_1(x, u)r_2(y,v)$，就可以说变换核是可分离的。

• 如果变换核的分解中得到的$r_1(x,u)$与$r_2(y,v)$功能一致，则称变换核是对称的。

如上面所给出的DFT，所以对应的iDFT为：

$$f(x,y) = \frac{1}{MN}\sum^{M-1}_{x = 0}\sum^{N-1}_{y = 0}F(u,v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$

正变换核与反变换核心h

$$r(x,y,u,v) =e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} \\ s(x,y,u,v) =e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$

证明是可分离的和对称的:

$$r(x,y,u,v) =e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} \\ =e^{-j2\pi\frac{ux}{M}}e^{-j2\pi\frac{vy}{N}}=r_1(x, u)r_2(y,v)\\$$

滤波和算子

滤波一词来自频率域（频率域就是我们通过傅里叶变换将空间域转为频率域），它是指通过或者拒绝一定的频率分量。

而在像素领域（空间域）上通常做的处理是中值滤波，均值滤波等平滑空间滤波器用来平滑噪声，或者一些锐化空间滤波器用来突出灰度的过渡部分（一般为区域的边界），而平滑是平均处理，类似空间积分，因为利用空间微分来实现锐化处理。对于在频域（一般就是经过傅里叶变换）上处理，一般的方法是高斯低通滤波（突出平滑，弱化边缘），高斯高通滤波（多尖锐细节，边缘细节），带通滤波（特定频率），它是一个用来增强图像中某个波段或频率并阻塞（或降低）其他频率波段的操作。

而算子一般就是卷积算子。

SRM

• 通过建立不同的子模型，首先对训练样本中的图像的空间域信息进行提取，通过使用数十个一阶、二阶甚至高阶滤波器对图像进行处理，获得具有高度多样性的残差图像集合。

• SRM隐写分析特征针对载体图像和一个由30个隐写分析滤波器组成的阵列卷积后生成的残差图像阵列进行提取。

参考资料

图像的低频，中频，高频信息含义？

有关于图像频率域和滤波的总结

数字图像处理-频率域滤波原理

傅里叶图像变换